KAlgebra/Homework/da: Difference between revisions

    From KDE UserBase Wiki
    (Importing a new version from external source)
    (Importing a new version from external source)
     
    (20 intermediate revisions by the same user not shown)
    Line 20: Line 20:
    og så videre.
    og så videre.


    Vi bemærker, at den første person kan placere sig på 6 forskellige pladser; den anden person har så 5 muligheder for at placere sig, og herefter 4 pladser til den tredje person, så 3 pladser til fjerde, 2 pladser til den femte og endelig 1 plads til den sjette. Vi kan således skrive følgende simple beregning:
    Vi bemærker, at den første person kan placere sig på 6 forskellige pladser; den anden person har så 5 muligheder for at placere sig, og herefter er der 4 pladser til den tredje person, så 3 pladser til fjerde, 2 pladser til den femte og endelig 1 plads til den sjette. Vi kan således skrive følgende simple beregning:


    {{Input | 1=6*5*4*3*2*1}}
    {{Input | 1=6*5*4*3*2*1}}
    Line 70: Line 70:
    :1. Brug x som variabel
    :1. Brug x som variabel
    :2. Tag den første værdi af x
    :2. Tag den første værdi af x
    :3. Tag den anden værdi af x og læg det til den forrige værdix:4. Tag den tredje værdi af x og læg den til den forrige sum
    :3. Tag den anden værdi af x og læg det til den første værdi
    :4. Tag den tredje værdi af x og læg den til den forrige sum
    ::...
    ::...
    :N. Tag den sidste værdi af x og  læg den til den forrige sum
    :N. Tag den sidste værdi af x og  læg den til den forrige sum
    Line 82: Line 83:
    {{Input|1=and(variabel1, variabel2)}}
    {{Input|1=and(variabel1, variabel2)}}


    hvilket vil det output, som gredsen giver med de to input.
    hvilket vil beregne det output, som kredsen giver med de to input.


    === Eksempel 2 ===
    === Eksempel 2 ===
    Line 108: Line 109:
    === Eksempel med samme væsker men forskellige rumfang og temperaturer ===
    === Eksempel med samme væsker men forskellige rumfang og temperaturer ===


    Hvad nu, hvis vi vil vide, hvad sluttempersturen bliver, når vi blander 40 L 15°C varmt vand med 30 L 70°C varmt vand? Ved at bruge energibevarelse ved vi, at den samlede termiske energi er den samme før og efter blandingen, så slutenergien er lig med summen af energierne i de to væsker (vi bruger U for intern energi):<br />:U<sub>final</sub> = U1 + U2
    Hvad nu, hvis vi vil vide, hvad sluttemperaturen bliver, når vi blander 40 L 15°C varmt vand med 30 L 70°C varmt vand? Ved at bruge energibevarelse ved vi, at den samlede termiske energi er den samme før og efter blandingen, så slutenergien er lig med summen af energierne i de to væsker (vi bruger U for intern energi):<br />
    :U<sub>final</sub> = U1 + U2


    Intern energi er lig med den volumetriske varmecapacitet ganget med temperaturen:<br />:U = C*V*T
    Intern energi er lig med den volumetriske varmecapacitet ganget med temperaturen:<br />
    :U = C*V*T


    So C<sub>final</sub>*V<sub>final</sub>*T<sub>final</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
    C<sub>slut</sub>*V<sub>slut</sub>*T<sub>slut</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2


    And since the heat capacities are all the same and cancel out, and the final volume is the sum of the two initial volumes:<br />
    Da varmekapaciteterne alle er ens, så går de ud, og slutvolumenet er lig summen af de to oprindelige volumener:<br />
    :(V1+V2)*T<sub>final</sub> = V1*T1 + V2*T2
    :(V1+V2)*T<sub>slut</sub> = V1*T1 + V2*T2
    ::or
    ::eller
    :T<sub>final</sub> = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)
    :T<sub>slut</sub> = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)


    We can then either use this directly in '''KAlgebra''':
    Vi kan enten udregne dette direkte i '''KAlgebra''':{{Input |<nowiki>(40*15 + 30*70)/(40 + 30)
    {{Input |<nowiki>(40*15 + 30*70)/(40 + 30)
    </nowiki>}}
    </nowiki>}}
    {{Output |<nowiki>(40*15+30*70)/(40+30)
    {{Output |<nowiki>(40*15+30*70)/(40+30)
    =38.5714</nowiki>}}
    =38.5714</nowiki>}}
    and get the final temperature, or put in a function if we need to repeat the computation:
    for at finde sluttemperaturen eller vi kan definere en funktion, hvis vi skal gentage beregningen:
    {{Input |<nowiki>finalTemp:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)</nowiki>}}
    {{Input |<nowiki>slutTemp:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)</nowiki>}}


    Which we can then use like this:
    Den kan vi så bruge således:
    {{Input |<nowiki>finalTemp(40,15,30,70)
    {{Input |<nowiki>finalTemp(40,15,30,70)
    </nowiki>}}
    </nowiki>}}
    Line 133: Line 135:
    =38.5714</nowiki>}}
    =38.5714</nowiki>}}


    ===Example Problem with Different Fluids===
    === Eksempel med forskellige væsker ===


    Now, suppose the two fluids have different volumetric heat capacities, such as 4180 J/(L*K) for the first liquid (water), and 1925 J/(L*K) for the second liquid (ethanol).
    Antag nu, at de to væsker har forskellige volumetriske varmekapaciteter; for eksempel 4180 J/(L*K) for den første (vand) og 1925 J/(L*K) for den anden (sprit). Vi skal igen bruge formlen:<br />
    We will need to refer back to the equation:<br />
    :C<sub>slut</sub>*V<sub>slut</sub>*T<sub>slut</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
    :C<sub>final</sub>*V<sub>final</sub>*T<sub>final</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2


    The resultant heat capacity will be the average of the capacities of the first and second fluids, weighted by volume(since it is a volumetric heat capacity rather than mass- or molar-specific):<br />
    Varmekapaciteten af blandingen vil være gennemsnittet af de to oprindelige varmekapaciteter vægtet efter volumen (eftersom det er volumetriske varmekapaciteter):<br />
    :C<sub>final</sub> = (C1*V1 + C2*V2)/V<sub>final</sub>
    :C<sub>slut</sub> = (C1*V1 + C2*V2)/V<sub>slut</sub>


    And plugging this into the previous equation, we get:<br />
    Indsætter vi i de foregående ligninger får vi:<br />
    :(C1*V1 + C2*V2)*T<sub>final</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
    :(C1*V1 + C2*V2)*T<sub>slut</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
    ::or
    ::eller
    :T<sub>final</sub> = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)
    :T<sub>slut</sub> = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)


    And either use this formula directly:
    Vi kan enten bruge denne formel direkte:
    {{Input |<nowiki>(4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)
    {{Input |<nowiki>(4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)
    </nowiki>}}
    </nowiki>}}
    Line 153: Line 154:
    =29.1198</nowiki>}}
    =29.1198</nowiki>}}


    Or write a function if we want to repeat the calculation:
    Eller skrive en funktion, hvis vi skal gentage beregningen:
    {{Input |<nowiki>finalTemp2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)
    {{Input |<nowiki>slutTemp2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)
    </nowiki>}}
    </nowiki>}}


    Which we can then use like this:
    Den kan vi så bruge således:
    {{Input |<nowiki>finalTemp2(4180,40,15,1925,30,70)
    {{Input |<nowiki>slutTemp2(4180,40,15,1925,30,70)
    </nowiki>}}
    </nowiki>}}
    {{Output |<nowiki>finalTemp2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70)
    {{Output |<nowiki>slutTemp2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70)
    =29.1198</nowiki>}}
    =29.1198</nowiki>}}
    Screenshot of '''KAlgebra''' after running these computations:
    Skærmbillede af '''KAlgebra''' efter at have lavet disse beregninger:
    [[Image:KAlgebra-Fluids-Example-Screenshot.png|400px|center]]
    [[Image:KAlgebra-Fluids-Example-Screenshot.png|400px|center]]


    [[Category:Education]]
    [[Category:Uddannelse/da]]

    Latest revision as of 17:21, 29 April 2011

    Denne side viser, hvordan KAlgebra kan bruges til at løse opgaver fra den virkelige verden.

    Eksempel med kombinatorik

    Vi har 6 personer, som vil vide, på hvor mange måder de kan fordele sig omkring et bord med 6 stole.

    Vi ved, at 6 personer kan fordele sig omkring bordet med disse konfigurationer

    p1 p2 p3 p4 p5 p6
    p1 p2 p3 p4 p6 p5
    p1 p2 p3 p5 p4 p6
    p1 p2 p3 p5 p6 p4

    og så videre.

    Vi bemærker, at den første person kan placere sig på 6 forskellige pladser; den anden person har så 5 muligheder for at placere sig, og herefter er der 4 pladser til den tredje person, så 3 pladser til fjerde, 2 pladser til den femte og endelig 1 plads til den sjette. Vi kan således skrive følgende simple beregning:

    6*5*4*3*2*1

    Det skriver vi i KAlgebras konsol, og får svaret:

    (((((1)*2)*3)*4)*5)*6
    =720

    Den slags arrangementer af ting i rækkefølger, hvor antallet af pladser er lig med antallet af ting kaldes en permutation.

    Lad os prøve at bruge KAlgebras permutationsfunktion:

    factorial(6)

    så får vi

    factorial(6)
    =720

    Som du kan se, giver det samme resultat som før.

    Eksempel med sandsynligheder

    Lad os kaste med en terning. Vi vil finde sandsynligheden for et bestemt udfald.

    Vi taler om positivt udfald, når kastet falder ud til vores fordel og negativt udfald, når det ikke er fordelagtigt for os.

    Her skal du altså vælge en bestemt side:

    Sandsynlighed = antal sider valgt/samlet antal sider = 1/6

    Nu ved vi, at når terningen kastes, så er der 1/6 chance for, at terningen lander med vores side opad.

    Vi kan definere en simpel funktion i KAlgebra til at beregne dette:

    sandsynlighed:=(favorabel,total)->favorabel/total

    Talteori

    Lad os sige, at vi ønsker at kende summen af alle tal i et begrænset interval, for eksempel fra 1 til 100. Vi skal så lægge alle disse hundrede tal sammen, hvis vi ikke kender en formel, der kan bruges.

    KAlgebra har en smart funktion til denne opgave. Vi skriver i konsollen:

    sum(x: x=1..100)

    og får resultatet:

    sum(x: x=1..100)
    = 5050

    Der sker følgende:

    1. Brug x som variabel
    2. Tag den første værdi af x
    3. Tag den anden værdi af x og læg det til den første værdi
    4. Tag den tredje værdi af x og læg den til den forrige sum
    ...
    N. Tag den sidste værdi af x og læg den til den forrige sum

    Elektronik

    Eksempel 1

    Lad os tage en simpel AND-kreds med to input og et output. For at simulere det i KAlgebra skriver vi

    and(variabel1, variabel2)

    hvilket vil beregne det output, som kredsen giver med de to input.

    Eksempel 2

    Vi har et simpelt kredsløb bestående af et 3V-batteri og to elektriske modstande (R1 og R2) på hver 3 kOhm forbundet parallelt. Vi vil beregne strømmen i kredsløbet.

    Først skal vi beregne værdien af den elektriske modstand ved hjælp af følgende formel:

    SamletModstand = (1/R1 + 1/R2)-1
    Strøm = Spænding/SamletModstand

    LAd os skrive a enkel funktion i KAlgebra til at gøre dette:

    samletmodstand:=(R1,R2)->(1/R1+1/R2)^-1
    strøm:=(spænding,samletmodstand)->spænding/samletmodstand

    Lad os se, hvad vi får:

    strøm(3, samletmodstand(3000, 3000))
    strøm(3, samletmodstand(3 000, 3 000))
    = 0,002


    Væsker

    Eksempel med samme væsker men forskellige rumfang og temperaturer

    Hvad nu, hvis vi vil vide, hvad sluttemperaturen bliver, når vi blander 40 L 15°C varmt vand med 30 L 70°C varmt vand? Ved at bruge energibevarelse ved vi, at den samlede termiske energi er den samme før og efter blandingen, så slutenergien er lig med summen af energierne i de to væsker (vi bruger U for intern energi):

    Ufinal = U1 + U2

    Intern energi er lig med den volumetriske varmecapacitet ganget med temperaturen:

    U = C*V*T

    Så Cslut*Vslut*Tslut = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

    Da varmekapaciteterne alle er ens, så går de ud, og slutvolumenet er lig summen af de to oprindelige volumener:

    (V1+V2)*Tslut = V1*T1 + V2*T2
    eller
    Tslut = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)

    Vi kan enten udregne dette direkte i KAlgebra:

    (40*15 + 30*70)/(40 + 30)
    
    (40*15+30*70)/(40+30)
    =38.5714

    for at finde sluttemperaturen eller vi kan definere en funktion, hvis vi skal gentage beregningen:

    slutTemp:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)

    Den kan vi så bruge således:

    finalTemp(40,15,30,70)
    
    finalTemp(40, 15, 30, 70)
    =38.5714

    Eksempel med forskellige væsker

    Antag nu, at de to væsker har forskellige volumetriske varmekapaciteter; for eksempel 4180 J/(L*K) for den første (vand) og 1925 J/(L*K) for den anden (sprit). Vi skal igen bruge formlen:

    Cslut*Vslut*Tslut = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

    Varmekapaciteten af blandingen vil være gennemsnittet af de to oprindelige varmekapaciteter vægtet efter volumen (eftersom det er volumetriske varmekapaciteter):

    Cslut = (C1*V1 + C2*V2)/Vslut

    Indsætter vi i de foregående ligninger får vi:

    (C1*V1 + C2*V2)*Tslut = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
    eller
    Tslut = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)

    Vi kan enten bruge denne formel direkte:

    (4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)
    
    ((4,180*40)*15+(1,925*30)*70)/(4,180*40+1,925*30)
    =29.1198

    Eller skrive en funktion, hvis vi skal gentage beregningen:

    slutTemp2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)
    

    Den kan vi så bruge således:

    slutTemp2(4180,40,15,1925,30,70)
    
    slutTemp2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70)
    =29.1198

    Skærmbillede af KAlgebra efter at have lavet disse beregninger: