KAlgebra/Lektier

    From KDE UserBase Wiki
    Revision as of 17:12, 29 April 2011 by Claus chr (talk | contribs) (Importing a new version from external source)

    Denne side viser, hvordan KAlgebra kan bruges til at løse opgaver fra den virkelige verden.

    Eksempel med kombinatorik

    Vi har 6 personer, som vil vide, på hvor mange måder de kan fordele sig omkring et bord med 6 stole.

    Vi ved, at 6 personer kan fordele sig omkring bordet med disse konfigurationer

    p1 p2 p3 p4 p5 p6
    p1 p2 p3 p4 p6 p5
    p1 p2 p3 p5 p4 p6
    p1 p2 p3 p5 p6 p4

    og så videre.

    Vi bemærker, at den første person kan placere sig på 6 forskellige pladser; den anden person har så 5 muligheder for at placere sig, og herefter 4 pladser til den tredje person, så 3 pladser til fjerde, 2 pladser til den femte og endelig 1 plads til den sjette. Vi kan således skrive følgende simple beregning:

    6*5*4*3*2*1

    Det skriver vi i KAlgebras konsol, og får svaret:

    (((((1)*2)*3)*4)*5)*6
    =720

    Den slags arrangementer af ting i rækkefølger, hvor antallet af pladser er lig med antallet af ting kaldes en permutation.

    Lad os prøve at bruge KAlgebras permutationsfunktion:

    factorial(6)

    så får vi

    factorial(6)
    =720

    Som du kan se, giver det samme resultat som før.

    Eksempel med sandsynligheder

    Lad os kaste med en terning. Vi vil finde sandsynligheden for et bestemt udfald.

    Vi taler om positivt udfald, når kastet falder ud til vores fordel og negativt udfald, når det ikke er fordelagtigt for os.

    Her skal du altså vælge en bestemt side:

    Sandsynlighed = antal sider valgt/samlet antal sider = 1/6

    Nu ved vi, at når terningen kastes, så er der 1/6 chance for, at terningen lander med vores side opad.

    Vi kan definere en simpel funktion i KAlgebra til at beregne dette:

    sandsynlighed:=(favorabel,total)->favorabel/total

    Talteori

    Lad os sige, at vi ønsker at kende summen af alle tal i et begrænset interval, for eksempel fra 1 til 100. Vi skal så lægge alle disse hundrede tal sammen, hvis vi ikke kender en formel, der kan bruges.

    KAlgebra har en smart funktion til denne opgave. Vi skriver i konsollen:

    sum(x: x=1..100)

    og får resultatet:

    sum(x: x=1..100)
    = 5050

    Der sker følgende:

    1. Brug x som variabel
    2. Tag den første værdi af x
    3. Tag den anden værdi af x og læg det til den forrige værdix:4. Tag den tredje værdi af x og læg den til den forrige sum
    ...
    N. Tag den sidste værdi af x og læg den til den forrige sum

    Elektronik

    Eksempel 1

    Lad os tage en simpel AND-kreds med to input og et output. For at simulere det i KAlgebra skriver vi

    and(variabel1, variabel2)

    hvilket vil det output, som gredsen giver med de to input.

    Eksempel 2

    Vi har et simpelt kredsløb bestående af et 3V-batteri og to elektriske modstande (R1 og R2) på hver 3 kOhm forbundet parallelt. Vi vil beregne strømmen i kredsløbet.

    Først skal vi beregne værdien af den elektriske modstand ved hjælp af følgende formel:

    SamletModstand = (1/R1 + 1/R2)-1
    Strøm = Spænding/SamletModstand

    LAd os skrive a enkel funktion i KAlgebra til at gøre dette:

    samletmodstand:=(R1,R2)->(1/R1+1/R2)^-1
    strøm:=(spænding,samletmodstand)->spænding/samletmodstand

    Lad os se, hvad vi får:

    strøm(3, samletmodstand(3000, 3000))
    strøm(3, samletmodstand(3 000, 3 000))
    = 0,002


    Væsker

    Eksempel med samme væsker men forskellige rumfang og temperaturer

    Hvad nu, hvis vi vil vide, hvad sluttempersturen bliver, når vi blander 40 L 15°C varmt vand med 30 L 70°C varmt vand? Ved at bruge energibevarelse ved vi, at den samlede termiske energi er den samme før og efter blandingen, så slutenergien er lig med summen af energierne i de to væsker (vi bruger U for intern energi):
    :Ufinal = U1 + U2

    Intern energi er lig med den volumetriske varmecapacitet ganget med temperaturen:
    :U = C*V*T

    Så Cslut*Vslut*Tslut = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

    Da varmekapaciteterne alle er ens, så går de ud, og slutvolumenet er lig summen af de to oprindelige volumener:
    :(V1+V2)*Tslut = V1*T1 + V2*T2

    eller
    Tslut = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)

    Vi kan enten udregne dette direkte i KAlgebra:

    (40*15 + 30*70)/(40 + 30)
    (40*15+30*70)/(40+30)
    =38.5714

    for at finde sluttemperaturen eller vi kan definere en funktion, hvis vi skal gentage beregningen:

    slutTemp:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)

    Which we can then use like this:

    finalTemp(40,15,30,70)
    
    finalTemp(40, 15, 30, 70)
    =38.5714

    Example Problem with Different Fluids

    Now, suppose the two fluids have different volumetric heat capacities, such as 4180 J/(L*K) for the first liquid (water), and 1925 J/(L*K) for the second liquid (ethanol). We will need to refer back to the equation:

    Cfinal*Vfinal*Tfinal = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

    The resultant heat capacity will be the average of the capacities of the first and second fluids, weighted by volume(since it is a volumetric heat capacity rather than mass- or molar-specific):

    Cfinal = (C1*V1 + C2*V2)/Vfinal

    And plugging this into the previous equation, we get:

    (C1*V1 + C2*V2)*Tfinal = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
    or
    Tfinal = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)

    And either use this formula directly:

    (4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)
    
    ((4,180*40)*15+(1,925*30)*70)/(4,180*40+1,925*30)
    =29.1198

    Or write a function if we want to repeat the calculation:

    finalTemp2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)
    

    Which we can then use like this:

    finalTemp2(4180,40,15,1925,30,70)
    
    finalTemp2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70)
    =29.1198

    Screenshot of KAlgebra after running these computations: