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Message definition (Concepts/OpenPGP For Beginners)
As the names suggest: The secret key is to be known to its owner only, and the public key should be known to everyone ideally. With symmetric encryption the problem was to safely share the password with the recipient of a message. With public keys the problem has changed: Now the hard part is to be sure that you are using the correct public key (and not a forged one an attacker tries to trick you into using).

Wie die Bezeichnungen schon sagen: Der geheime Schlüssel darf nur seinem Besitzer bekannt sein, der öffentliche Schlüssel dagegen ist idealerweise jedem bekannt. Bei symmetrischer Verschlüsselung war das Problem, das gemeinsame Passwort sicher mit dem Empfänger der Nachricht auszutauschen. Mit öffentlichen Schlüsseln verschiebt sich das Problem: Jetzt liegt die (allerdings weniger offensichtliche) Herausforderung darin, verlässlich den richtigen öffentlichen Schlüssel zu verwenden (und nicht einen manipulierten, den einem ein Angreifer unterzuschieben versucht).