KAlgebra/Homework/uk

На цій сторінці наведено приклади застосування KAlgebra для розв’язання конкретних задач.

Приклад з комбінаторики

Нехай слід визначити кількість способів, якими можна розсадити 6 осіб (p1, p2 ... p6) навколо круглого столу з 6 стільцями.

Очевидно, можливі такі варіанти:

p1	p2	p3	p4	p5	p6
p1	p2	p3	p4	p6	p5
p1	p2	p3	p5	p4	p6
p1	p2	p3	p5	p6	p4

і так далі.

Можна зауважити, що останню позицію за столом можна заповнити лише у один спосіб, передостанню — у 2, далі — у 3, у 4, у 5, і нарешті у 6 способів. Отже загальну кількість варіантів можна визначити за допомогою простої формули:

6*5*4*3*2*1

Введемо цю формулу у консоль KAlgebra, і програма обчислить відповідь:

(((((1)*2)*3)*4)*5)*6
=720

Подібний розподіл значень за варіантами, де кількість значень дорівнює кількості варіантів називається «переставляннями».

Ви можете скористатися функцією KAlgebra для обчислення кількості таких переставлянь (ця функція називається «факторіал»):

factorial(6)

дасть нам

factorial(6)
=720

Як бачите, ми отримали той самий результат.

Приклад з теорії ймовірностей

Визначимо ймовірність викинути певну грань гральної кістки.

Сприятливим для нас буде викидання відповідної грані, а несприятливим - викидання інших граней.

Отже, сприятливим буде лише один варіант із шести:

ймовірність = кількість вибраних граней / загальна кількість граней = 1/6

Отже тепер ми знаємо, що ймовірність викидання певної грані кістки дорівнює 1/6.

Ви можете створити просту функцію у KAlgebra для отримання значення ймовірності за означенням:

jmovirnist:=(spryyatlyvi,zagalom)->spryyatlyvi/zagalom

Теорія чисел

Нехай нам потрібно визначити суму всіх цілих чисел у певному діапазоні, наприклад, від 1 до 100. Знаходження подібної суми без певної вправності у арифметиці (якщо ви знаєте потрібний прийом, це нескладно) справа доволі марудна.

У KAlgebra передбачено чудові можливості для виконання подібних обчислень. Віддайте у консолі такі команди:

sum(x: x=1..100)

в результаті отримаємо:

sum(x: x=1..100)
= 5050

Вказана нами синтаксична конструкція призначена для виконання такої послідовності дій:

1. Обмежити діапазон значень x

2. Взяти перше значення x

3. Взяти друге значення x і додати попереднє значення x

4. Взяти третє значення x і додати попереднє значення x

...

N. Взяти останнє значення x і додати останнє значення x

Розрахунок електричних ланцюгів

Приклад 1

Розглянемо простий елемент множення з двома вхідними портами та одним вихідним. Для визначення результату у KAlgebra можна скористатися таким кодом:

and(var1, var2)

Ми отримаємо результат логічного множення вхідних змінних.

Приклад 2

Розглянемо простий електричний ланцюг: джерело живлення з напругою 3 В та два елементи опору (R1 і R2) з’єднані паралельно з опором 3 кОм. Потрібно визначити струм, який проходитиме ланцюгом.

Для початку визначимо значення загального опору відповідно до такого закону:

R_заг = (1/R1 + 1/R2)^-1

I = U/R_заг

Давайте створимо просту функцію у KAlgebra для виконання обчислень за вказаними формулами:

R_zag:=(R1,R2)->(1/R1+1/R2)^-1
I:=(U,R_zag)->U/R_zag

Подивимося, що у нас вийшло:

I(3, R_zag(3000, 3000))

I(3, R_zag(3 000, 3 000))
= 0,002

Теплопровідність

Приклад з однаковими матеріалами, але різними об’ємами та температурами

Давайте знайдеом температуру суміші 40 літрів води з температурою 15°C та 30 літрів води з температурою 70°C? Скористаємося законом збереження енергії. Ми знаємо, енергія суміші є сумою енергій складових, отже (літерою Q ми позначили внутрішню енергію):

U_сум = U1 + U2

Внутрішня енергія є добутком теплоємності при сталому об’ємі на об’єм і на температуру:

U = C*V*T

Отже C_ост*V_ост*T_ост = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

Оскільки теплоємності є однаковими, на них можна скоротити. Остаточний об’єм дорівнюватиме сумі двох початкових об’ємів:

(V1+V2)*T_ост = V1*T1 + V2*T2

або

T_ост = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)

We can then either use this directly in KAlgebra:

(40*15 + 30*70)/(40 + 30)

(40*15+30*70)/(40+30)
=38.5714

and get the final temperature, or put in a function if we need to repeat the computation:

finalTemp:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)

Which we can then use like this:

finalTemp(40,15,30,70)

finalTemp(40, 15, 30, 70)
=38.5714

Example Problem with Different Fluids

Now, suppose the two fluids have different volumetric heat capacities, such as 4180 J/(L*K) for the first liquid (water), and 1925 J/(L*K) for the second liquid (ethanol). We will need to refer back to the equation:

C_final*V_final*T_final = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

The resultant heat capacity will be the average of the capacities of the first and second fluids, weighted by volume(since it is a volumetric heat capacity rather than mass- or molar-specific):

C_final = (C1*V1 + C2*V2)/V_final

And plugging this into the previous equation, we get:

(C1*V1 + C2*V2)*T_final = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

or

T_final = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)

And either use this formula directly:

(4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)

((4,180*40)*15+(1,925*30)*70)/(4,180*40+1,925*30)
=29.1198

Or write a function if we want to repeat the calculation:

finalTemp2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)

Which we can then use like this:

finalTemp2(4180,40,15,1925,30,70)

finalTemp2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70)
=29.1198

Screenshot of KAlgebra after running these computations: