KAlgebra/Compiti a casa

Questa pagina mostra alcuni utilizzi di KAlgebra in problemi reali.

Esempio di calcolo combinatorio

Abbiamo 6 persone che vogliono sapere come mettersi attorno a un tavolo con 6 sedie.

Sappiamo che le 6 persone possono posizionarsi attorno al tavolo in questa configurazione:

p1	p2	p3	p4	p5	p6
p1	p2	p3	p4	p6	p5
p1	p2	p3	p5	p4	p6
p1	p2	p3	p5	p6	p4

E così via.

Notiamo che l'ultimo elemento si sposta di 1, il quinto di 2, il quarto di 3, il terzo di 4, il secondo di 5 e il primo di 6. Possiamo quindi scrivere una semplice formula:

6*5*4*3*2*1

Scriviamola nella console di KAlgebra e la risposta in uscita sarà:

(((((1)*2)*3)*4)*5)*6
=720

Questo modo di organizzare le cose spostandole di alcune posizioni, in cui il numero della posizione è uguale al numero delle cose stesse, è chiamato "permutazione".

Proviamo a calcolare in KAlgebra la funzione di permutazione:

factorial(6)

e otteniamo

factorial(6)
=720

Come puoi vedere è lo stesso risultato.

Esempio di calcolo della probabilità

Lanciamo un dado. Vogliamo sapere la probabilità di ottenere un certo numero.

Possiamo definire probabilità positiva il risultato dell'evento a noi favorevole e probabilità negativa il risultato sfavorevole.

Devi quindi scegliere una sola faccia del dado:

probabilità = faccia scelta / facce totali = 1/6

Ora quindi sappiamo che quando lanciamo un dado c'è 1/6 di probabilità di ottenere la faccia che abbiamo scelto.

Possiamo impostare una semplice funzione in KAlgebra per prendere questa formula in modo facile:

probabilità:=(favorevole,totale)->favorevole/totale

Teoria dei numeri

Diciamo che vogliamo sapere la somma di tutti i numeri compresi in un dato intervallo, per esempio 1 - 100. Dobbiamo sommare tutti i numeri da 0 a 100 se non conosciamo la regola.

KAlgebra offre un'ottima semplificazione per questa operazione. Scriviamo nella console:

sum(x: x=1..100)

e otteniamo il risultato:

sum(x: x=1..100)
= 5050

La sintassi indica questo:

1. Limite x come variabile

2. Prendere il primo valore di x

3. Prendere il secondo valore di x e aggiungere il precedente

4. Prendere il terzo valore di x e aggiungere il precedente

...

N. Prendere l'ultimo valore di x e aggiungere l'ultimo.

Elettronica

Esempio 1

Prendiamo una semplice porta AND con due ingressi e un'uscita. Per risolverlo in KAlgebra scriveremo:

and(variabile1, variabile2)

da cui otterremo come risultato il valore and di ingresso.

Esempio 2

Abbiamo un semplice circuito: una batteria da 3V e due resistenze da 3kOhm (R1 e R2) messe in parallelo. Vogliamo conoscere la corrente che passa nel circuito.

Dobbiamo prima calcolare il valore della resistenza elettrica espressa secondo la legge:

ResistenzaTotale = (1/R1 + 1/R2)^-1

Attuale = Voltaggio/ResistenzaTotale

Scriviamo una semplice funzione in KAlgebra per farlo:

resistenzatotale:=(R1,R2)->(1/R1+1/R2)^-1
attuale:=(voltaggio,resistenzatotale)->voltaggio/resistenzatotale

Vediamo che otteniamo:

attuale(3, resistenzatotale(3000, 3000))

attuale(3, resistenzatotale(3 000, 3 000))
= 0,002

Fluidi

Esempio di problema con stesso materiale, ma differenti volumi e temperature

Ora che facciamo se abbiamo bisogno di sapere la temperatura finale quando mescoliamo 40L di acqua a 15°C con 30L di acqua a 70°C? Tenendo conto della conservazione dell'energia sappiamo che le energie termiche iniziali e finali sono le stesse, dunque l'energia finale è uguale all'energia del primo fluido più l'energia del secondo (utilizzando U per l'energia interna):

U_finale = U1 + U2

L'energia interna è uguale alla capacità termica del volume per il volume e per la temperatura:

U = C*V*T

Dunque C_finale*V_finale*T_finale = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

E dato che le capacità termiche sono tutte le stesse e si annullano e che il volume finale è la somma dei due volumi iniziali:

(V1+V2)*T_finale = V1*T1 + V2*T2

o

T_finale = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)

Possiamo quindi utilizzare questa direttamente in KAlgebra:

(40*15 + 30*70)/(40 + 30)

(40*15+30*70)/(40+30)
=38.5714

ed ottenere la temperatura finale o metterla in una funzione se abbiamo bisogno di ripetere il calcolo:

TemperaturaFinale:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)

Che possiamo poi utilizzare così:

TemperaturaFinale(40,15,30,70)

TemperaturaFinale(40, 15, 30, 70)
=38.5714

Esempio di problema con diversi fluidi

Ora supponiamo che due fluidi abbiano differenti capacità termiche per volume come 4180 J/(L*K) per il primo liquido(acqua) e 1925 J/(L*K) per il secondo (etanolo). Avremo bisogno di riprendere l'equazione:

C_finale*V_finale*T_finale = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

La capacità termica risultante sarà la media delle capacità del primo e del secondo fluido, ponderata per il volume(dato che si tratta di capacità termica per volume piuttosto che di quella specifica per la massa o per le moli):

C_finale = (C1*V1 + C2*V2)/V_finale

E collegando questo nell'equazione precedente otteniamo:

(C1*V1 + C2*V2)*T(finale) = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

o

T(finale) = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)

E utilizzando questa formula direttamente:

(4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)

((4,180*40)*15+(1,925*30)*70)/(4,180*40+1,925*30)
=29.1198

Oppure scriviamo una funzione se vogliamo ripetere il calcolo:

TemperaturaFinale2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 +c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)

Che possiamo poi utilizzare così:

TemperaturaFinale2(4180,40,15,1925,30,70)

TemperaturaFinale2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70)
=29.1198

Schermata di KAlgebra dopo aver eseguito questi calcoli: