KAlgebra/Lektier
Denne side viser, hvordan KAlgebra kan bruges til at løse opgaver fra den virkelige verden.
Eksempel med kombinatorik
Vi har 6 personer, som vil vide, på hvor mange måder de kan fordele sig omkring et bord med 6 stole.
Vi ved, at 6 personer kan fordele sig omkring bordet med disse konfigurationer
p1 p2 p3 p4 p5 p6 p1 p2 p3 p4 p6 p5 p1 p2 p3 p5 p4 p6 p1 p2 p3 p5 p6 p4
og så videre.
Vi bemærker, at den første person kan placere sig på 6 forskellige pladser; den anden person har så 5 muligheder for at placere sig, og herefter 4 pladser til den tredje person, så 3 pladser til fjerde, 2 pladser til den femte og endelig 1 plads til den sjette. Vi kan således skrive følgende simple beregning:
6*5*4*3*2*1
Det skriver vi i KAlgebras konsol, og får svaret:
(((((1)*2)*3)*4)*5)*6 =720
Den slags arrangementer af ting i rækkefølger, hvor antallet af pladser er lig med antallet af ting kaldes en permutation.
Lad os prøve at bruge KAlgebras permutationsfunktion:
factorial(6)
så får vi
factorial(6) =720
Som du kan se, giver det samme resultat som før.
Eksempel med sandsynligheder
Lad os kaste med en terning. Vi vil finde sandsynligheden for et bestemt udfald.
Vi taler om positivt udfald, når kastet falder ud til vores fordel og negativt udfald, når det ikke er fordelagtigt for os.
Her skal du altså vælge en bestemt side:
- Sandsynlighed = antal sider valgt/samlet antal sider = 1/6
Nu ved vi, at når terningen kastes, så er der 1/6 chance for, at terningen lander med vores side opad.
Vi kan definere en simpel funktion i KAlgebra til at beregne dette:
sandsynlighed:=(favorabel,total)->favorabel/total
Talteori
Lad os sige, at vi ønsker at kende summen af alle tal i et begrænset interval, for eksempel fra 1 til 100. Vi skal så lægge alle disse hundrede tal sammen, hvis vi ikke kender en formel, der kan bruges.
KAlgebra har en smart funktion til denne opgave. Vi skriver i konsollen:
sum(x: x=1..100)
og får resultatet:
sum(x: x=1..100) = 5050
Der sker følgende:
- 1. Brug x som variabel
- 2. Tag den første værdi af x
- 3. Tag den anden værdi af x og læg det til den forrige værdix:4. Tag den tredje værdi af x og læg den til den forrige sum
- ...
- N. Tag den sidste værdi af x og læg den til den forrige sum
Elektronik
Eksempel 1
Lad os tage en simpel AND-kreds med to input og et output. For at simulere det i KAlgebra skriver vi
and(variabel1, variabel2)
hvilket vil det output, som gredsen giver med de to input.
Example 2
We have a simple circuit: a battery of 3V and two electrical resistances (R1 and R2) put on parallel of 3kOhm. We want to get the current circulating in the circuit.
We have first to calculate the value of the electric resistance expressed according to the law:
- TotalResistance = (1/R1 + 1/R2)-1
- Current = Voltage/TotalResistance
Let's write a simple function in KAlgebra to do this:
totalresistance:=(R1,R2)->(1/R1+1/R2)^-1 current:=(voltage,totalresistance)->voltage/totalresistance
Let's see what we get:
current(3, totalresistance(3000, 3000))
current(3, totalresistance(3 000, 3 000)) = 0,002
Fluid
Example Problem with Same Material, but Different Volumes and Temperatures
Now, what if we need to know the final temperature when we mix 40L of 15°C water with 30L of 70°C water?
Using conservation of energy, we know that the initial and final thermal energies are the same, so the final energy is equal to the energy of the first fluid plus the energy of the second fluid(using U for internal energy):
- Ufinal = U1 + U2
Internal energy is equal to the volumetric heat capacity times volume times temperature:
- U = C*V*T
So Cfinal*Vfinal*Tfinal = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
And since the heat capacities are all the same and cancel out, and the final volume is the sum of the two initial volumes:
- (V1+V2)*Tfinal = V1*T1 + V2*T2
- or
- Tfinal = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)
We can then either use this directly in KAlgebra:
(40*15 + 30*70)/(40 + 30)
(40*15+30*70)/(40+30) =38.5714
and get the final temperature, or put in a function if we need to repeat the computation:
finalTemp:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)
Which we can then use like this:
finalTemp(40,15,30,70)
finalTemp(40, 15, 30, 70) =38.5714
Example Problem with Different Fluids
Now, suppose the two fluids have different volumetric heat capacities, such as 4180 J/(L*K) for the first liquid (water), and 1925 J/(L*K) for the second liquid (ethanol).
We will need to refer back to the equation:
- Cfinal*Vfinal*Tfinal = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
The resultant heat capacity will be the average of the capacities of the first and second fluids, weighted by volume(since it is a volumetric heat capacity rather than mass- or molar-specific):
- Cfinal = (C1*V1 + C2*V2)/Vfinal
And plugging this into the previous equation, we get:
- (C1*V1 + C2*V2)*Tfinal = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
- or
- Tfinal = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)
And either use this formula directly:
(4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)
((4,180*40)*15+(1,925*30)*70)/(4,180*40+1,925*30) =29.1198
Or write a function if we want to repeat the calculation:
finalTemp2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)
Which we can then use like this:
finalTemp2(4180,40,15,1925,30,70)
finalTemp2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70) =29.1198
Screenshot of KAlgebra after running these computations:
