KAlgebra/Compiti a casa

Questa pagina mostra alcuni utilizzi di KAlgebra in problemi reali. \

Esempio di calcolo combinatorio

Abbiamo 6 persone che vogliono sapere come mettersi attorno a un tavolo con 6 sedie.

Sappiamo che le 6 persone possono posizionarsi attorno al tavolo in questa configurazione:

p1	p2	p3	p4	p5	p6
p1	p2	p3	p4	p6	p5
p1	p2	p3	p5	p4	p6
p1	p2	p3	p5	p6	p4

E così via.

Notiamo che l'ultimo elemento si sposta di 1, il quinto di 2, il quarto di 3, il terzo di 4, il secondo di 5 e il primo di 6. Possiamo quindi scrivere una semplice formula:

6*5*4*3*2*1

Scriviamola nella console di KAlgebra e la risposta in uscita sarà:

(((((1)*2)*3)*4)*5)*6
=720

Questo modo di organizzare le cose spostandole di alcune posizioni, in cui il numero della posizione è uguale al numero delle cose stesse, è chiamato "permutazione".

Proviamo a calcolare in KAlgebra la funzione di permutazione:

factorial(6)

e otteniamo

factorial(6)
=720

Come puoi vedere è lo stesso risultato.

Esempio di calcolo della probabilità

Lanciamo un dado. Vogliamo sapere la probabilità di ottenere un certo numero.

Possiamo definire probabilità positiva il risultato dell'evento a noi favorevole e probabilità negativa il risultato sfavorevole.

Devi quindi scegliere una sola faccia del dado:

probabilità = faccia scelta / facce totali = 1/6

Ora quindi sappiamo che quando lanciamo un dado c'è 1/6 di probabilità di ottenere la faccia che abbiamo scelto.

Possiamo impostare una semplice funzione in KAlgebra per prendere questa formula in modo facile:

probabilità:=(favorevole,totale)->favorevole/totale

Teoria dei numeri

Diciamo che vogliamo sapere la somma di tutti i numeri compresi in un dato intervallo, per esempio 1 - 100. Dobbiamo sommare tutti i numeri da 0 a 100 se non conosciamo la regola.

KAlgebra offre un'ottima semplificazione per questa operazione. Scriviamo nella console:

sum(x: x=1..100)

e otteniamo il risultato:

sum(x: x=1..100)
= 5050

La sintassi indica questo:

1. Limite x come variabile

2. Prendere il primo valore di x

3. Prendere il secondo valore di x e aggiungere il precedente

4. Prendere il terzo valore di x e aggiungere il precedente

...

N. Prendere l'ultimo valore di x e aggiungere l'ultimo.

Elettronica

Esempio 1

Prendiamo un semplice circuito con due ingressi e un'uscita. Per risolverlo in KAlgebra scriveremo:

and(variabile1, variabile2)

da cui otterremo come risultato il valore di ingresso.

Esempio 2

Abbiamo un semplice circuito: una batteria da 3V e due resistenze da 3kOhm (R1 e R2) messe in parallelo. Vogliamo conoscere la corrente che passa nel circuito.

Dobbiamo prima calcolare il valore della resistenza elettrica espressa secondo la legge:

ResistenzaTotale = (1/R1 + 1/R2)^-1

Attuale = Voltaggio/ResistenzaTotale

Scriviamo una semplice funzione in KAlgebra per farlo:

resistenzatotale:=(R1,R2)->(1/R1+1/R2)^-1
attuale:=(voltaggio,resistenzatotale)->voltaggio/resistenzatotale

Vediamo che otteniamo:

attuale(3, resistenzatotale(3000, 3000))

attuale(3, resistenzatotale(3 000, 3 000))
= 0,002

Fluidi

Esempio di problema con stesso materiale, ma differenti volumi e temperature

Ora che facciamo se abbiamo bisogno di sapere la temperatura finale quando mescoliamo 40L di acqua a 15°C con 30L di acqua a 70°C? Tenendo conto della conservazione dell'energia sappiamo che le energie termiche iniziali e finali sono le stesse, dunque l'energia finale è uguale all'energia del primo fluido più l'energia del secondo (utilizzando U per l'energia interna):

U(finale) = U1 + U2

Internal energy is equal to the volumetric heat capacity times volume times temperature:

U = C*V*T

So C(final)*V(final)*T(final) = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

And since the heat capacities are all the same and cancel out, and the final volume is the sum of the two initial volumes:

(V1+V2)*T(final) = V1*T1 + V2*T2

or

T(final) = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)

We can then either use this directly in KAlgebra:

(40*15 + 30*70)/(40 + 30)

(40*15+30*70)/(40+30)
=38.5714

and get the final temperature, or put in a function if we need to repeat the computation:

finalTemp:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)

Which we can then use like this:

finalTemp(40,15,30,70)

finalTemp(40, 15, 30, 70)
=38.5714

Example Problem with Different Fluids

Now, suppose the two fluids have different volumetric heat capacities, such as 4180 J/(L*K) for the first liquid (water), and 1925 J/(L*K) for the second liquid (ethanol). We will need to refer back to the equation:

C(final)*V(final)*T(final) = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

The resultant heat capacity will be the average of the capacities of the first and second fluids, weighted by volume(since it is a volumetric heat capacity rather than mass- or molar-specific):

C(final) = (C1*V1 + C2*V2)/V(final)

And plugging this into the previous equation, we get:

(C1*V1 + C2*V2)*T(final) = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

or

T(final) = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)

And either use this formula directly:

(4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)

((4,180*40)*15+(1,925*30)*70)/(4,180*40+1,925*30)
=29.1198

Or write a function if we want to repeat the calculation:

finalTemp2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)

Which we can then use like this:

finalTemp2(4180,40,15,1925,30,70)

finalTemp2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70)
=29.1198

Screenshot of KAlgebra after running these computations: